Definição de Paradoxo: contradição, pelo menos aparente. Opinião contraria a opinião comum.

Zenão ou Zenon, segundo Porfirio F.(2020) nasceu em 490 AC em Aleia, Itália.  Seu método consistia na elaboração de paradoxos que não apresentavam outra alternativa, senão a concordância com eles. Seu objetivo não era refutar diretamente as teses que combatia, mas mostrar os absurdos daquelas teses. Suas idéias filosóficas sobre as dimensões infinitesimais foram a fonte de inspiração para Newton e Leibniz, dois séculos depois, desenvolverem os conceitos de cálculo infinitesimal na famosa “guerra do cálculo”. Foi professor, filósofo e político. Ao se revoltar contra Nearco um tirano de Estado, foi torturado e morto aos 60 anos de idade. Sua atitude inspirou o povo da região a se revoltar e conquistar sua liberdade. Atualmente é lembrado pelos “paradoxos de Zenão”, sempre citando o paradoxo de Aquiles e a tartaruga.

Paradoxo de Aquiles e a tartaruga

Ao consultar a literatura escrita em português, lembrei dos conselhos do meu professor que dizia:”se consultar um trabalho que tenha relação com o que está estudando, verifique se é verdade e na pesquisa, se um caminho te levar a nada, mude de caminho” e de Santo Agostinho sobre as traduções da Bíblia Sagrada (Bíblia Sagrada,1975):” se encontrar um erro na Bíblia contrário a uma verdade incontestável, pode haver um erro do copista, ou de quem não compreendeu exatamente o significado do que estava escrito”.

Segundo a Wilkipédia-enciclopédia livre (2020), Aquiles, corredor grego, disputa uma corrida com uma tartaruga. Como Aquiles é mais veloz que a tartaruga, é dada uma vantagem à tartaruga, que começa num trecho a frente da linha de largada. Aquiles nunca ultrapassa a tartaruga porque quando ele chegar na posição inicial A da tartaruga ela estará mais a frente numa posição B. Quando Aquiles chegar em B a tartaruga estará num ponto C e assim por diante até o infinito. Todos os pesquisadores concluíram acertadamente que o “erro” do paradoxo foi não ter considerado o tempo. Realmente, o paradoxo não fala em tempo, em velocidade e nem em qual foi dimensionalmente o espaço inicial dado à tartaruga. Como inexiste o tempo no paradoxo, não existe velocidade (não é considerada), apenas deslocamentos. Como não foi fixada uma dimensão no paradoxo, seja qual for essa dimensão grande ou infinitamente pequena dado ao espaço inicial para a tartaruga, Aquiles nunca ultrapassará a tartaruga. Zenão nesse paradoxo queria mostrar o conceito de infinitesimal. No caso do paradoxo, as variáveis, Aquiles e tartaruga, são dependentes. No caso real onde se introduz o tempo e portanto a velocidade, as variáveis serão independentes. No caso do paradoxo do atleta que corre 60 metros, no primeiro instante ele percorre metade do caminho, no segundo instante 2/3 da distância restante e assim por diante. Zenão quis mostrar que o espaço pode ser dividido até em dimensões infinitamente pequenas.

Imagem: Zenão de Eleia – Filósofo grego pré-socrático

Considerando um corpo em movimento é possível construir uma curva que representa a velocidade do corpo num plano cartesiano onde na ordenada colocam-se os valores do tempo e em abcissa os valores do espaço percorrido em função do tempo, sendo o espaço variável dependente. Os livros de matemática afirmam que para se obter o valor da velocidade do corpo num ponto da curva basta traçar a tangente à curva, e que a tangente do ângulo formado com o eixo da ordenada representa o pretendido valor da velocidade. Escolhendo-se dois pontos da curva (A e B) se traçarmos a secante à curva unindo A e B, a tangente do ângulo da secante com o eixo das ordenadas será a velocidade media do corpo naquele trecho e para obter a velocidade num ponto proceder da maneira já descrita. Tangente por definição toca a curva num único ponto. O ponto por definição não tem dimensão. Se não tem dimensão, a curva da velocidade torna-se inválida. Lembrando Zenão, o infinitamente pequeno existe (paradoxo de Aquiles e da tartaruga) e o espaço infinitamente pequeno também (paradoxo do atleta). Então o correto seria dizer que, para se determinar a velocidade no ponto A basta fazer o ponto B da curva se aproximar a uma distância infinitamente pequena de A e traçar a secante. Por motivos práticos traça-se a tangente à curva.

Dentro do campo da matemática existe o exemplo da divisão entre duas variáveis dependentes, x e y. Se atribuirmos a x (numerador) o valor 1 e a y (denominador) o valor infinito, o resultado será zero. A matemática justifica a sua aceitação, mediante o seguinte procedimento: Se dividirmos 1 por 10 dará 0,1, se dividirmos 1 por 1000 dará 0,001 e assim por diante, dando números cada vez menores cuja tendência é se aproximar de zero, justificando Zenão do infinitésimo. Outro exemplo mais conhecido é o número Pi, relação entre o diâmetro do circulo (variável independente) e seu comprimento (variável dependente), que é constante (número Pi) cujo valor é infinito.

Na engenharia de minas existe um exemplo do sistema carregadora-caminhão, que permite o transporte de rocha desmontada por explosivos até a usina de britagem.

O sistema é constituído por duas variáveis que apresentam dependência. No início, devido ao pequeno número de caminhões, a carregadora permanece parada a espera da chegada dos caminhões. Aumentando-se o número de caminhões cria- se num certo momento uma fila de caminhões a espera para serem carregados. Por razões operacionais nunca os caminhões irão transportar o volume de rocha que a carregadora tem capacidade de carregar, o que acarreta um comportamento assintótico da curva que representa a carga transportada pelos caminhões e a capacidade de carregamento da carregadora.

Nota-se nos exemplos citados, que quando as variáveis são dependentes, os paradoxos de Zenão são válidos, porém quando se considera o tempo ou as variáveis são independentes, os paradoxos não se aplicam. Descobertas recentes, na Física Quântica, reacenderam os interesses pelos paradoxos de Zenão, sendo criado o termo “Efeito quântico de Zenão”.

Conclusões

  • Nos dois paradoxos comentados, Zenão chama a atenção para a existência do infinitésimo e que um segmento pode ser dividido a valores infinitésimos.

Se uma função tem variáveis dependentes ela seguirá os paradoxos de Zenão, se as variáveis forem independentes ou constar o tempo, ela não seguirá os paradoxos de Zenão